Για τη ζύμη:

1. Σε ένα μπολ ανακατεύουμε το αλεύρι, το αλάτι και τη ζάχαρη. Προσθέτουμε το βούτυρο και το τρίβουμε με τα δάχτυλα μέχρι να γίνει σαν ψίχουλα.
2. Προσθέτουμε το αβγό, το ξίδι και το νερό. Ζυμώνουμε μέχρι να έχουμε μια μαλακή, λεία ζύμη.
3. Σκεπάζουμε με μεμβράνη και αφήνουμε να ξεκουραστεί 10 λεπτά.

Για τη γέμιση:

1. Σε ένα τηγάνι σοτάρουμε το κρεμμύδι με το λάδι μέχρι να μαλακώσει. Προσθέτουμε το σκόρδο και ανακατεύουμε για 30 δευτερόλεπτα.
2. Προσθέτουμε το μανιτάρι και σοτάρουμε μέχρι να μαράνει.
3. Ρίχνουμε τον πελτέ, το κύμινο, την πάπρικα, τη ζάχαρη, αλάτι και πιπέρι. Ανακατεύουμε καλά και σιγομαγειρεύουμε για 5-6 λεπτά.
4. Βγάζουμε από τη φωτιά και προσθέτουμε το βραστό αβγό και τις ψιλοκομμένες ελιές. Αφήνουμε να κρυώσει καλά.

Για το στήσιμο:

1. Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C.
2. Ανοίγουμε τη ζύμη σε λεπτό φύλλο και κόβουμε 12 δίσκους διαμέτρου 12 εκ.
3. Βάζουμε 1 κ.σ. από τη γέμιση στο κέντρο κάθε δίσκου. Βρέχουμε τις άκρες με νερό ή ασπράδι, διπλώνουμε σε μισοφέγγαρο και πιέζουμε καλά για να σφραγιστούν.
4. Μεταφέρουμε σε ταψί με λαδόκολλα, αλείφουμε με χτυπημένο αβγό.
5. Ψήνουμε στους 180°C για 20 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν.

Σερβίρουμε ζεστές ή χλιαρές, ιδανικά με chimichurri (βλ. Συνταγή).